Resum
Recordem que un subconjunt S d’un anell R és nil si per a cada element a ∈ S existeix un enter positiu n (que depèn de a) tal que an = 0. La Conjectura de Köthe diu que tot ideal per l’esquerra nil d’un anell R està dins d’un ideal nil de R. Köthe va enunciar aquesta conjectura al 1930, poc temps després d’assistir a seminaris d’Emmy Noether, que es pot dir que va ser la fundadora de la teoria d’anells, a principis del segle XX. En aquesta lliçó s’explica una mica el context històric on es formula la conjectura, es donen les definicions necessàries per entendre el seu enunciat i es mostren els avenços principals al voltant de la conjectura, especialment, els resultats d’Amitsur, Krempa i Smoktunowicz.
Per veure un text més desenvolupat de la lliçó podeu llegir l’arxiu: ConjKoethe.pdf
Bibliografia
- A. S. Amitsur, Algebras over infinite fields. Proc. AMS 7 (1956), 35–48.
- A. S. Amitsur, Radicals of polynomial rings. Canad. J. Math. 8 (1956), 355–361.
- A. S. Amitsur, Nil radicals. Historical notes and some new results. Rings, modules and radicals (Proc. Internat. Colloq., Keszthely, 1971), pp. 47–65. Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai, Vol. 6, North-Holland, Amsterdam, 1973.
- Morris Kline, El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días, III. Alianza Editorial, Madrid, 1992
- A. S. Amitsur, Nil radicals. Historical notes and some new results. Rings, modules and radicals (Proc. Internat. Colloq., Keszthely, 1971), pp. 47–65. Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai, Vol. 6, North-Holland, Amsterdam, 1973.
- Gottfried Köthe, Die Struktur der Ringe, deren Restklassenring nach dem Radikal vollstandig reduzibel ist. Math. Zeitschrift, 32 (1930), 161–186.
- Jan Krempa, Logical connections between some open problems concerning Fundamenta Mathematicae 76 (1972), 121–130.
- Agata Smoktunowicz, Polynomial rings over nil rings need not be nil. J. Algebra, 233 (2000), 427–436.
- B.L. van der Waerden, A History of Algebra. From al-Khwārizmī to Emmy Noether. Springer-Verlag, Berlin, 1985.