TEOREMA: No hi ha cap superfície analítica uniformement regular de curvatura constant negativa, sense singularitats.
Aquest resultat fou publicat per D. Hilbert a l'article Ueber Flächen von constanter Gausscher Krümmung [Sobre superfícies amb curvatura de Gauss constant] Trans. Amer. Math. Soc. 2(1) (1901), 87-99, del qual reproduïm la primera pàgina.
Beltrami havia provat que una porció del pla de Lobatxevski (que se n'hauria de dir pla de Bolyai) es podia realitzar mitjançant una superfície de curvatura constant negativa. Però, ¿és podia fer això globalment? Com hem vist a l'enunciat del teorema anterior, la resposta fou negativa.
Això vol dir que no hi ha cap isometria entre una superfície de ℝ3 (amb la mètrica heretada de l'euclidiana de ℝ3) i el model de Beltrami ⌨. En particular, això ens diu que les singularitats que apareixen a la base de la pseudoesfera ⌨ (superfície de curvatura constant negativa) són absolutament inevitables.
Tot i que parla de superfícies analítiques, el propi Hilbert remarca que el teorema és cert si tenim prou derivades. Nicolas Kuiper, als articles On C1-isometric imbeddings, I, II, Indag. Math.,17, (1955), 545-556, 683-689, construeix una superfície de l'espai euclidià derivable només una vegada, isomètrica al pla hiperbòlic.
Aquest resultat de Hilbert, molts anys posterior a l'època dels fundadors de la geometria hiperbòlica Lobatxevski i J. Bolyai (a l'ombra de Gauss), explica perquè aquesta geometria va ser tan difícil de descobrir: estava ben amagada.
BREU NOTA BIOGRÀFICA:
David Hilbert va néixer el 23 gener de 1862 a Königsberg, Prusia (avui Kaliningrad, Rússia) i va morir el 14 de febrer de 1943 a Göttingen, Alemanya.
Agustí Reventós - Departament de Matemàtiques - Desembre 2008